Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点．
（Ⅰ）证明：AC₁∥平面BDE；
（Ⅱ）证明：AC₁⊥BD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理证明：AC₁∥平面BDE；
（Ⅱ）根据线面垂直的性质，先证明BD⊥平面ACC₁，然后证明AC₁⊥BD．

解答：解：（ I）证明：连接AC交BD于O，连接OE，
∵ABCD是正方形，
∴O为AC的中点，
∵E是棱CC₁的中点，
∴AC₁∥OE．
又∵AC₁?平面BDE，OE?平面BDE，
∴AC₁∥平面BDE．
（ II）证明：
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD．
∵CC₁⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，
∴CC₁⊥BD．
又∵CC₁∩AC=C，
∴BD⊥平面ACC₁．
又∵AC₁?平面ACC₁，
∴AC₁⊥BD．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判定定理和性质定理的应用，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．