Question

（本题满分14分）

设分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆上、下顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且四边形ACBD 的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设Q为椭圆上异于A、B的点，求证：

（3）设为直线上不同于点（，0）的任意一点， 若直线，分别与椭圆相交于异于的点，证明：点在以为直径的圆内 

Answer 1

（本题满分14分）

解：（1）依题意得，，，

解得a＝2，c＝1， b＝ 

故椭圆的方程为   ………………4分

（2）由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）  设

则

故得证…………………8分

（3）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0） 

设M（x₀，y₀） 

∵M点在椭圆上，∴＝（4－x₀²）                 ①

又点M异于顶点A、B，∴－2<x₀<2，由P、A、M三点共线可以得

P（4，） 

从而＝（x₀－2，y₀），

＝（2，） 

∴·＝2x₀－4＋＝（x₀²－4＋3y₀²）        ②

将①代入②，化简得·＝（2－x₀） 

∵2－x₀>0，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，

故点B在以MN为直径的圆内  ……………14分

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）  设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

则－2<x₁<2，－2<x₂<2，又MN的中点Q的坐标为（，），

依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差

－＝(－2）²＋（）²－[(x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²]

                 ＝（x₁－2) (x₂－2)＋y₁y₁                     ③

又直线AP的方程为，直线BP的方程为，

而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，

∴，即                       ④

又点M在椭圆上，则，即        ⑤

于是将④、⑤代入③，化简后可得－＝ 

从而，点B在以MN为直径的圆内