Question

11．求${∫}_{\;}^{\;}$x$\sqrt{x-1}$dx的值．

Answer 1

分析 利用换元的思想，对积分转化为关于u的定积分，然后还原．

解答 解：设u=$\sqrt{x-1}$，则x=u²+1，∴dx=2udu，
∴${∫}_{\;}^{\;}$x$\sqrt{x-1}$dx=∫（u²+1）u•2•udu=∫（2u⁴+2u²）du
=$\frac{2}{5}{u}^{5}+\frac{2}{3}{u}^{3}$+c
=$\frac{2}{5}（\sqrt{x-1}）^{5}+\frac{2}{3}（\sqrt{x-1}）^{3}+c$
=$\frac{2}{5}（x-1）^{2}\sqrt{x-1}+\frac{2}{3}（x-1）\sqrt{x-1}+c$．

点评 本题考查了不定积分的求法，关键是将所求适当换元．