Question

已知f(x)=

2x+b

2x+1+a

是R上奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）对任意正数x，不等式f[k(log3x)2-2log3x]+f[2(log3x)2+k]＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=0，知b=-1，由f（-1）=-f（1），知a=2，由此能求出a，b的值
（2）原不等式等价于：k(log3x)2-2log3x＞-2(log3x)2-k，令log₃x=t，则（k+2）t²-2t+k＞0对一切实数t恒成立．由此能求出实数k的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=

2x+b

2x+1+a

是R上奇函数，
∴f（0）=0，f（-1）=-f（1），
∵f（0）=0，
∴b=-1，
又∵f（-1）=-f（1），
∴a=2，
此时f(x)=

2x-1

2(2x+1)

经检验确为奇函数，
故a=2，b=-1．
（2）∵f(x)=

1

2

-

1

1+2x

∴f(x)在R上单调递增，
原不等式等价于：k(log3x)2-2log3x＞-2(log3x)2-k，
令log₃x=t，
则（k+2）t²-2t+k＞0对一切实数t恒成立．
所以

k+2＞0 △=4-4(k+2)k＜0

，
解得k＞

2

-1．

点评：本题考查奇函数的性质及其应用，考查函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．