题目内容
甲、乙两位同学学完导数知识后，对三次多项式函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（x∈R，a≠0，a、b、c、d∈R）进行了研究．在一次交流时．提出了如下结果．
①若a＞0时，则f（x）存在单调递增区间；若a＜0时，则f（x）存在单调递减区间；
②f（x）的零点个数可能是1个，或2个，或3个；
③有极值的充要条件是b2≥3ac；
④图象上总存在不同的两点A，B，在A，B两点处的切线互相平行．
请你给予评价：
（1）上述结果是正确的 （填上所有正确的序号）；
（2）上述结果若有错误的，填上错误的序号并更正： ．
①若a＞0时，则f（x）存在单调递增区间；若a＜0时，则f（x）存在单调递减区间；
②f（x）的零点个数可能是1个，或2个，或3个；
③有极值的充要条件是b2≥3ac；
④图象上总存在不同的两点A，B，在A，B两点处的切线互相平行．
请你给予评价：
（1）上述结果是正确的
（2）上述结果若有错误的，填上错误的序号并更正：
考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：对f（x）=ax3+bx2+cx+d考查，对4个结果依次分析判断．
解答：
解：①若a＞0时，x→-∞时，f（x）→-∞；x→+∞时，f（x）→+∞；则f（x）存在单调递增区间；
若a＜0时，x→-∞时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→-∞；则f（x）存在单调递减区间；故正确．
②f（x）=x3时，f（x）有1个零点；f（x）=（x-1）x2时，f（x）有2个零点；f（x）=（x-2）（x-1）x时，f（x）有3个零点；故正确．
③f′（x）=3ax2+2bx+c，若f（x）有极值，则△=（2b）2-4×（3a）×c＞0，即b2＞3ac；故不正确．
④f′（x）=3ax2+2bx+c知，当x1+x2=-
时，f′（x1）=f′（x2），则在x1、x2处f（x）的切线的斜率相等，则切线互相平行．故正确．
故答案为：（1）①②④；（2）③，b2＞3ac．
若a＜0时，x→-∞时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→-∞；则f（x）存在单调递减区间；故正确．
②f（x）=x3时，f（x）有1个零点；f（x）=（x-1）x2时，f（x）有2个零点；f（x）=（x-2）（x-1）x时，f（x）有3个零点；故正确．
③f′（x）=3ax2+2bx+c，若f（x）有极值，则△=（2b）2-4×（3a）×c＞0，即b2＞3ac；故不正确．
④f′（x）=3ax2+2bx+c知，当x1+x2=-
| 2b |
| 3a |
故答案为：（1）①②④；（2）③，b2＞3ac．
点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
练习册系列答案
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