Question

甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为

2

3

，乙队中3人答对的概率分别为

2

3

，

2

3

，

1

2

，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P（AB）．

Answer 1

分析：（1）由题意甲队中每人答对的概率均为

2

3

，故可看作独立重复试验，故ξ～B(3，

2

3

)，Eξ=3×

2

3

=2
（2）AB为“甲、乙两个队总得分之和等于3”和“甲队总得分大于乙队总得分”同时满足，有两种情况：“甲得（2分）乙得（1分）”和“甲得（3分）乙得0分”这两个事件互斥，分别求概率，再取和即可．

解答：解：（Ⅰ）解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且P(ξ=0)=

C

0 3

×(1-

2

3

)3=

1

27

，P(ξ=1)=

C

1 3

×

2

3

×(1-

2

3

)2=

2

9

，P(ξ=2)=

C

2 3

×(

2

3

)2×(1-

2

3

)=

4

9

，P(ξ=3)=

C

3 3

×(

2

3

)3=

8

27

．
所以ξ的分布列为

ξ的数学期望为Eξ=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2．

解法二：根据题设可知，ξ～B(3，

2

3

)，
因此ξ的分布列为P(ξ=k)=

C

k 3

×(

2

3

)k×(1-

2

3

)3-k=

C

k 3

×

2k

33

，k=0，1，2，3．
因为ξ～B(3，

2

3

)，所以Eξ=3×

2

3

=2．
（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得（2分）乙得（1分）”这一事件，用D表示“甲得（3分）乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D，且C，D互斥，又P(C)=

C

2 3

×(

2

3

)2×(1-

2

3

)×[

2

3

×

1

3

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

×

1

2

]=

10

34

，P(D)=

C

3 3

×(

2

3

)3×(

1

3

×

1

3

×

1

2

)=

4

35

，
由互斥事件的概率公式得P(AB)=P(C)+P(D)=

10

34

+

4

35

=

34

35

=

34

243

．
解法二：用A_k表示“甲队得k分”这一事件，用B_k表示“乙队得k分”这一事件，k=0，1，2，3．
由于事件A₃B₀，A₂B₁为互斥事件，故有P（AB）=P（A₃B₀∪A₂B₁）=P（A₃B₀）+P（A₂B₁）．
由题设可知，事件A₃与B₀独立，事件A₂与B₁独立，因此P（AB）=P（A₃B₀）+P（A₂B₁）=P（A₃）P（B₀）+P（A₂）P（B₁）=(

2

3

)3×(

1

32

×

1

2

)+

C

2 3

×

22

32

×

1

3

(

1

2

×

1

32

+

1

2

×

C

1 2

×

2

32

)=

34

243

．

点评：本题考查独立重复试验、二项分布、期望、及互斥事件、独立事件的概率问题，同时考查利用概率知识分析问题解决问题的能力．在求解过程中，注意P（AB）=P（A）P（B）只有在A和B独立时才成立．