Question

甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P（AB）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意甲队中每人答对的概率均为，故可看作独立重复试验，故，
（2）AB为“甲、乙两个队总得分之和等于3”和“甲队总得分大于乙队总得分”同时满足，有两种情况：“甲得（2分）乙得（1分）”和“甲得（3分）乙得0分”这两个事件互斥，分别求概率，再取和即可．
解答：解：（Ⅰ）解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且，，，．
所以ξ的分布列为

ξ的数学期望为．

解法二：根据题设可知，，
因此ξ的分布列为，k=0，1，2，3．
因为，所以．
（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得（2分）乙得（1分）”这一事件，用D表示“甲得（3分）乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D，且C，D互斥，又=，，
由互斥事件的概率公式得．
解法二：用A_k表示“甲队得k分”这一事件，用B_k表示“乙队得k分”这一事件，k=0，1，2，3．
由于事件A₃B，A₂B₁为互斥事件，故有P（AB）=P（A₃B∪A₂B₁）=P（A₃B）+P（A₂B₁）．
由题设可知，事件A₃与B独立，事件A₂与B₁独立，因此P（AB）=P（A₃B）+P（A₂B₁）=P（A₃）P（B）+P（A₂）P（B₁）=．
点评：本题考查独立重复试验、二项分布、期望、及互斥事件、独立事件的概率问题，同时考查利用概率知识分析问题解决问题的能力．在求解过程中，注意P（AB）=P（A）P（B）只有在A和B独立时才成立．