Question

（本小题满分12分）

右图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80~90分数段的学员数为21人

（I）求该专业毕业总人数N和90~95分数段内的人数；

（II）现欲将90~95分数段内的名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为，求名毕业生中男女各几人（男女人数均至少两人）？

（III）在（II）的结论下，设随机变量表示n名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求的分布列和数学期望.

Answer 1

（I）6；（II）名毕业生中有男生人,女生人；（III）

【解析】

试题分析：(1)解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的关系，这些数据中，比较明显的有组距、，间接的有频率，小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形的面积等于频率，小长方形的面积之和等于1，因此频率之和为1；（2)平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标；（3）频率分布直方图中，注意小矩形的高是，而不是频率.（4）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（5)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.

试题解析：(Ⅰ) 分数段的毕业生的频率为,此分数段的学员总数为人所以毕业生的总人数为 2分

分数段内的人数频率为

所以分数段内的人数 4分

(Ⅱ) 分数段内共名毕业生,设其中男生名,女生为名

设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件,则

则

解得或(舍去)

即名毕业生中有男生人,女生人 8分

(Ⅲ) 表示名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数,

所以的取值可以为

当时,

当时,

当时,

所以的分布列为

所以随机变量数学期望为 12分

考点：频率分布直方图即随机变量的期望、方差.