题目内容
为深入贯彻素质教育，增强学生体质，某中学从高一、高二、高三三个年级中分别选了甲、乙、丙三支足球队举办一场足球赛．足球赛具体规则为：甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两个队比赛一场）．共赛三场，每场比赛胜者积3分，负者积0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为
，甲胜丙的概率为
，乙胜丙的概率为
．（Ⅰ）求甲队获得第一名且丙队获得第二名的概率；
（Ⅱ）设在该次比赛中，甲队积分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
【答案】分析：本题考查的知识点是等可能事件的概率，及离散型随机变量及其分布列和数学期望．
（1）甲队获得第一名且丙队获得第二名，需要满足甲胜乙，甲胜丙，丙胜乙，则P（A）=
×
×
，计算后即可得到甲队获得第一名且丙队获得第二名的概率；
（2）由题意可知ξ可能取值为0、3、6，分类讨论并计算：则甲两场皆输：P（ξ=0）=
；甲两场只胜一场：P（ξ=3）=
×
+
×
；甲两场皆胜：P（ξ=6）=
，我们易得到ξ的分布列，进而得到其数学期望．
解答：解：（Ⅰ）设甲队获第一且丙队获第二为事件A，则P（A）=
×
×
=
（3分）
（Ⅱ）ξ可能取值为0、3、6，（4分）
则甲两场皆输：P（ξ=0）=
=
（5分）
甲两场只胜一场：P（ξ=3）=
×
+
×
=
（6分）
甲两场皆胜：P（ξ=6）=
=
．（8分）
∴ξ的分布列为：
（10分）
Eξ=0×
+3×
+6×
=
（12分）
点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．
（1）甲队获得第一名且丙队获得第二名，需要满足甲胜乙，甲胜丙，丙胜乙，则P（A）=
×
×
，计算后即可得到甲队获得第一名且丙队获得第二名的概率；（2）由题意可知ξ可能取值为0、3、6，分类讨论并计算：则甲两场皆输：P（ξ=0）=
；甲两场只胜一场：P（ξ=3）=
×
+
×
；甲两场皆胜：P（ξ=6）=
，我们易得到ξ的分布列，进而得到其数学期望．解答：解：（Ⅰ）设甲队获第一且丙队获第二为事件A，则P（A）=
×
×
=
（3分）（Ⅱ）ξ可能取值为0、3、6，（4分）
则甲两场皆输：P（ξ=0）=
=
（5分）甲两场只胜一场：P（ξ=3）=
×
+
×
=
（6分）甲两场皆胜：P（ξ=6）=
=
．（8分）∴ξ的分布列为：
（10分）Eξ=0×
+3×
+6×
=
（12分）点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．
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