Question

设{a_n}是公比为q的等比数列，其前n项的积为T_n，并且满足条件：a₁＞1，a₉₉a₁₀₀-1＞0，

a99-1

a100-1

＜0．给出下列结论：①0＜q＜1；②T₁₉₈＜1；③a₉₉a₁₀₁＜1；④使T_n＜1成立的最小的自然数n等于199．其中正确结论的编号是（　　）

• A、①②③
• B、①④
• C、②③④
• D、①③④

Answer 1

分析：由已知中数列{a_n}是公比为q的等比数列，其前n项的积为T_n，并且满足条件：a₁＞1，a₉₉a₁₀₀-1＞0，

a99-1

a100-1

＜0．我们可得a₉₉＞1，a₁₀₀＜1，结合等数列的性质对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案．

解答：解：∵a₉₉a₁₀₀-1＞0，
∴a₁²•q¹⁹⁷＞1，
∴（a₁•q⁹⁸）²＞1
∵a₁＞1，
∴q＞0，
又∵

a99-1

a100-1

＜0
∴a₉₉＞1，a₁₀₀＜1．
∴0＜q＜1，即①正确
又∵T₁₉₈=a₁¹⁹⁸•q^1+2+…+197=（a₉₉•a₁₀₀）⁹⁹＞1
∴②不正确
a₉₉a₁₀₁=a₁₀₀²＜1
∴③正确；
满足Tn=a1•q

n-1

2

＜1的最小自然数n满足

n-1

2

=99，即n=199，∴④正确．
∴正确的为①③④
故选D

点评：本题考查的知识点是等比数列的性质，其中根据已知条件得到a₉₉＞1，a₁₀₀＜1，是解答本题的关键．