Question

11．已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l₁：x-y-2$\sqrt{2}$=0相切
（1）求直线l₂：4x-3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长．
（2）若与直线l₁垂直的直线l与圆C交于不同的两点P，Q，若∠POQ为钝角，求直线l纵截距的取值范围．
（3）过点G（1，3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N求直线MN的方程．

Answer 1

分析 （1）先求出圆C的标准方程，再求直线l₂：4x-3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长；
（2）设直线l的方程为：y=-x+b，联立圆C方程，运用判别式大于0，韦达定理以及向量的数量积的坐标表示，化简解不等式，即可得到所求范围；
（3）求出以G点为圆心，线段GM长为半径的圆G方程，与圆C的标准方程相减，即可求直线MN的方程．

解答 解：（1）由题得：原点到直线l₁：x-y-2$\sqrt{2}$=0的距离为圆的半径2，故圆C的方程为x²+y²=4
又圆心到直线l₂：4x-3y+5=0的距离d=$\frac{5}{\sqrt{16+9}}$=1
∴|AB|=2$\sqrt{4-1}$=2$\sqrt{3}$…（4分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线L的方程为：y=-x+b，
联立x²+y²=4得：2x²-2bx+b²-4=0，
由△=（-2b）²-8（b²-4）＞0，得b²＜8，
且x₁+x₂=b，x₁x₂=$\frac{{b}^{2}-4}{2}$
∵∠POQ是钝角，∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$＜0
即x₁x₂+y₁y₂＜0，且$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OQ}$不是反向向量，
而y₁y₂=（-x₁+b）（-x₂+b）
∴x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-b（x₁+x₂）+b²＜0
代入韦达定理，解之得-2＜b＜2，
而当$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OQ}$反向时，b=0，
故所求直线纵截距的范围是（-2，0）∪（0，2）…（8分）
（3）|OG|=$\sqrt{10}$，|GM|=$\sqrt{6}$
故以G为圆心，GM的长为半径的圆G方程为（x-1）²+（y-3）²=6
又圆C方程为：x²+y²=4（2）
由（1）-（2）得直线MN方程为x+3y-4=0…（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．