Question

在四面体ABCD中，已知棱AC的长为

2

，其余各棱的长都为1，则二面角A-CD-B的余弦值是（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  3

• C．

  3

  3

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：先作出二面角A-CD-B的平面角，再利用余弦定理求解即可．

解答：解：由已知可得AD⊥DC
又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，则BE⊥CD
在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A-CD-B的平面角
∵EF=

1

2

（三角形ACD的中位线），BE=

3

2

（正三角形BCD的高），BF=

2

2

（等腰RT三角形ABC，F是斜边中点）
∴cos∠BEF

EF2+BE2-BF2

2×BE×EF

=

1 4 + 3 4 - 1 2

2× 3 2 × 1 2

=

3

3

故选C．

点评：本题考查二面角的平面角，考查余弦定理，正确作出二面角的平面角是关键．