Question

已知是中心在坐标原点的椭圆的一个焦点，且椭圆的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设：、为椭圆上不同的点，直线的斜率为；是满足（）的点，且直线的斜率为．
①求的值；
②若的坐标为，求实数的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）①；②实数的取值范围是.

试题分析：（Ⅰ）先根据题中的已知条件以及、、三者之间的关系求出、、的值，从而确定椭圆的方程；（Ⅱ）①解法一是利用斜率公式先将、利用点和的坐标进行表示，然后借助点差法求出的值；解法二是将直线的方程假设出来，借助韦达定理与这一条件确定与之间的关系，进而从相关等式中求出的值；②先确定直线的斜率，然后假设直线的方程为，利用韦达定理确定与之间的等量关系，再利用直线与椭圆有两个不同的公共点结合确定实数的取值范围，进而得到实数的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）依题意，可设椭圆的方程为（），      1分
由，，得，
由，可得，      3分
故椭圆的方程为．      4分
（Ⅱ）解法一：①由、且存在，得，      5分
由，且存在，得，
则.      6分
∵，在椭圆上，∴，，   7分
两式相减得，，
∴．      8分
②若的坐标为，则，由①可得.
设直线（），
由得，      9分
所以.
∵，∴，.     10分
又由，解得，      11分
∴且．      12分
解法二：①设直线（），
若，则
由满足（，），得，
∵直线的斜率存在，∴.     5分
由得  (*).     6分
∵、，∴.    7分
∵，满足，
∴直线的斜率，
经化简得.     9分
②若的坐标为，则，由①可得.    10分
∴方程(*)可化为，
下同解法一.