Question

（1）已知z的共轭复数是，且，求z．
（2）已知z是虚数，求证：为实数的充要条件是|z|=1．

Answer 1

【答案】分析：（1）可设z=a+bi，则=a-bi，（a，b∈R）代入，利用复数相等的条件求出a，b的值，即可求出z；
（2）可设z=a+bi，，（a，b∈R）根据充要条件证明的格式，充分性由|z|=1证是实数，必要性由是实数证|z|=1
解答：解：（1）设z=a+bi，（a，b∈R），则=a-bi，代入，得a²+b²-3ai+3b=1+3i
故有得，
综上知z=-1，或z=-1-3i
（2）设z=a+bi，，（a，b∈R），
充分性：由|z|=1得=1，即，故=2a，是实数
必要性：由为实数，即a+bi+=a++（b-）i是实数，
即b-=0，可得a²+b²=1，故有|z|=1
综上证明知，为实数的充要条件是|z|=1
点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，解题的关键是掌握充分条件的证明方法，复数的代数形式的乘除运算，复数是一个重要的工具，因为向量的引入，其在高考中的地位下降，只是作为一个运算工具出现在高考试卷了，一般是一个选择题