Question

已知函数f（x）=x（x-2）²+1，x∈R
（1）求函数f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）在区间[t，t+2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）把f（x）化简后，求出f（x）的导函数，令导函数大于0列出不等式，求出不等式的解集即为函数的增区间；令导函数小于0列出不等式，求出不等式的解集即为函数的减区间，根据函数的增减性即可得到函数的极值；
（2）分三种情况：x=

2

3

在区间[t，t+2]的左边，右边及中间，根据（1）中求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可求出相应的t范围中函数的最大值，联立即可得到f（x）最大值与t的分段函数关系式．

解答：解：（1）f（x）=x³-4x²+4x+1
∵f'（x）=3x²-8x+4=（3x-2）（x-2），
∴函数f（x）的单调递增区间为(-∞，

2

3

)和（2，+∞），f（x）的单调递减区间为(

2

3

，2)，
所以x=

2

3

为f（x）的极大值点，极大值为f(

2

3

)=

59

27

x=2为f（x）的极小值点，极小值为f（2）=1．（7分）
（2）①当t+2＜

2

3

即t＜-

4

3

时，函数f（x）在区间[t，t+2]上递增，
∴f（x）_max=f（t+2）=t³+2t²+1；
②当t≤

2

3

≤t+2即-

4

3

≤t≤-2时，
函数f（x）在区间[t，

2

3

]上递增，在区间[

2

3

，t+2]上递减，
∴f(x)max=f(

2

3

)=

59

27

；
③当t＞

2

3

时，f（x）_max=max{f（t），f（t+2）}，
令f（t）≥f（t+2），则t（t-2）²≥（t+2）t²，t（6t-4）≤0，得0≤t≤

2

3

，
所以当t＞

2

3

，f（t）＜f（t+2），f（x）_max=f（t+2）=t³+2t²+1，
所以f(x)max=

t3+2t2+1，t＜- 4 3 或t＞ 2 3 59 27 - 4 3 ≤t≤ 2 3

．

点评：此题考查学生会利用导数研究函数的极值，会利用导数求闭区间上函数的最值，是一道综合题．