Question

已知函数f（x）=ax²+a²x+2b-a³，当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0；当x∈（-2，6）时，f（x）＞0．
①求a，b的值；
②设F（x）=-f（x）+2kx+13k-2，则当k取何值时，函数F（x）的值恒为负数？

Answer 1

【答案】分析：①由题意可得，-2和6是方程ax²+a²x+2b-a³ =0的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系求得a、b的值．
②要使F（x）的值恒为负数，即kx²-2kx+（k+2）＜0恒成立，分k=0和k≠0两种情况，分别求得 k的取
值范围，再取并集，即得所求．
解答：解：①∵函数f（x）=ax²+a²x+2b-a³，当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0；
当x∈（-2，6）时，f（x）＞0，
故-2和6是方程ax²+a²x+2b-a³ =0的两个根，∴，解得 ，
∴f（x）=-4x²+16x+48．
②∵F（x）=-f（x）+2kx+13k-2=kx²-2kx-（k+2），要使F（x）的值恒为负数，
即kx²-2kx+（k-2）＜0恒成立，
当k=0时，不等式化为-2＜0，符合题意．
当k≠0时，由，解得k＜0．
综上可得，k≤0，即 k的取值范围为（-∞，0]．
点评：本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，一元二次方程根与系数的关系，体现了分类讨论的
数学思想，属于中档题．