Question

已知函数f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x（a∈R），f′（x）为f（x）的导数．
（1）当a=-3时，求y=f（x）的单调区间和极值；
（2）设g(x)=

19

6

x-

1

3

，是否存在实数x1=-

1

3

，对于任意的x₁∈[-1，1]，存在x₂∈[0，2]，使得f′（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立？若存在，求出

1

3

≤h(x1)≤6的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）当a=-3时，f（x）=x³+4x²-3x，f'（x）=3x²+8x-3，令f'（x）=0得：x₁=-3、x2=

1

3

，由此能求出y=f（x）的单调区间和极值．
（2）在[0，2]上，g(x)=

19

6

x-

1

3

是增函数，故对于x₂∈[0，2]，g(x2)∈[-

1

3

，6]．设h(x1)=f′(x1)+2ax1=3

x

2 1

+2x1-a(a+2)，x1∈[-1，1]．h'（x₁）=6x₁+2，由h'（x₁）=0，得x1=-

1

3

．要使对于任意的x₁∈[-1，1]，存在x₂∈[0，2]使得h（x₁）=g（x₂）成立，只需在[-1，1]上，-

1

3

≤h(x1)≤6，由此能求出实数a的范围．

解答：解：（1）当a=-3时，f（x）=x³+4x²-3x，f'（x）=3x²+8x-3，
令f'（x）=0得：x₁=-3、x2=

1

3

所以f（x）在(-3，

1

3

)单调递减．在(-∞，-3)，(

1

3

，+∞)单调递增   
所以f（x）_极大=f（-3）=18，f（x）_极小=f(

1

3

)=-

14

27

，
（2）在[0，2]上g(x)=

19

6

x-

1

3

是增函数，故对于x₂∈[0，2]，g(x2)∈[-

1

3

，6]．
设h(x1)=f′(x1)+2ax1=3

x

2 1

+2x1-a(a+2)，x1∈[-1，1]．h'（x₁）=6x₁+2，
由h'（x₁）=0，得x1=-

1

3

．
要使对于任意的x₁∈[-1，1]，存在x₂∈[0，2]使得h（x₁）=g（x₂）成立，只需在[-1，1]上，
-

1

3

≤h(x1)≤6，
在（-1，-

1

3

）上h′（x₁）＜0，在（-

1

3

，1）上h′（x₁）＞0，
∴x1=-

1

3

时，h（x₁）有极小值h(-

1

3

)=-

1

3

-a2-2a，
∵h（-1）=1-a²-2a，h（1）=5-a²-2a，
∵在[-1，1]上，h（x₁）只有一个极小值，
故h（x₁）的最小值为-

1

3

-a2-2a，

1-a2-2a≤6 5-a2-2a≤6 - 1 3 -a2-2a≥- 1 3

，
解得-2≤a≤0．

点评：本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质的灵活运用．