题目内容

已知直线l的参数方程为 $数学公式$ ，若以直角坐标系xoy的原点O点为极点，以x轴正半轴为极轴，选取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $数学公式$ ，若直线l与曲线C交于A、B两点．
（I）求直线l的倾斜角及l与坐标轴所围成的三角形的面积；
（II）求|AB|．

解：（I）∵直线l的参数方程为 $\text{[math]}$ ，用代入法消去参数t化为普通方程为 y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ．
设倾斜角等于α，则 0≤α＜π，tanα= $\text{[math]}$ ，∴α= $\text{[math]}$ ．
求得直线l与坐标轴的交点的坐标分别为A（- $\text{[math]}$ ，0），B（0， $\text{[math]}$ ），∴l与坐标轴所围成的三角形的面积S_△OAB= $\text{[math]}$ ×OA×OB= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（II）∵曲线C的极坐标方程为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sinθ+ $\text{[math]}$ cosθ，∴ρ²= $\text{[math]}$ ρsinθ+ $\text{[math]}$ ρcosθ，
即 x²+y²= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ y．
把 $\text{[math]}$ 代入可得t²+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ t），解得 t₁=0，t₂= $\text{[math]}$ ．
∴A（0， $\text{[math]}$ ），B（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），故|AB|= $\text{[math]}$ ．
分析：（I）根据直线l的参数方程用代入法消去参数t化为普通方程为 y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，根据直线的斜率求出倾斜角 α 的值．求得直线l与坐标轴的交点的坐标，即可求得 l与坐标轴所围成的三角形的面积．
（II）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线l的参数方程代入，求出参数t的值，可得A、B两点的坐标，利用两点间的距离公式求得|AB|的值．
点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．