Question

如图，在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E．又SA=AB，SB=BC．求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数．

Answer 1

分析：欲证BD⊥DE，BD⊥DC，先证BD⊥面SAC，从而得到∠EDC是所求的二面角的平面角，利用Rt△SAC与Rt△EDC相似求出∠EDC即可．

解答：解：由于SB=BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE．
又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，
∴SC⊥面BDE，
∴SC⊥BD．
又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，
∴SA⊥BD．
而SC∩SA=S，∴BD⊥面SAC．
∵DE=面SAC∩面BDE，DC=面SAC∩面BDC，
∴BD⊥DE，BD⊥DC．
∴∠EDC是所求的二面角的平面角．
∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC．
设SA=a，则AB=a，BC=SB=

2

a
∵AB⊥BC，∴AC=

3

a，在Rt△SAC中tan∠ACS=

3

3

∴∠ACS=30°．
又已知DE⊥SC，所以∠EDC=60°，即所求的二面角等于60°．

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．