Question

【题目】已知函数 (是自然对数的底数)

（1）求证:

（2）若不等式在上恒成立,求正数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见证明； (2)

【解析】

（1）要证ex≥x+1，只需证f（x）＝ex﹣x﹣1≥0，求导得f′（x）＝ex﹣1，利用导数性质能证明ex≥x+1．

（2）不等式f（x）＞ax﹣1在x∈[，2]上恒成立，即a在x∈[]上恒成立，令g（x），x∈[]，利用导数性质求g（x）在x∈[]上的最小值，由此能求出正数a的取值范围．

（1）由题意知，要证，只需证，

求导得，当时，，

当时，，

∴f（x）在是增函数，在时是减函数，

即在时取最小值，

∴，即，

∴．

（2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，

亦即在x∈[，2]上恒成立，令g（x）=，，

以下求在上的最小值，

,当时，，

当]时，，

∴当]时，单调递减，当]时，单调递增，

∴在处取得最小值为，

∴正数a的取值范围是．