题目内容

设关于x的方程x2－mx－1＝0有两个实根α、β，且α＜β．定义函数f(x)＝．

(Ⅰ)求αf(α)＋βf(β)的值；

(Ⅱ)判断f(x)在区间(α，β)上的单调性，并加以证明；

(Ⅲ)若λ，μ为正实数，证明不等式：．

答案：
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设关于x的方程x2-（m+i）x-（2+i）=0，m是实数；
（1）若上述方程有实根，求出其实根以及此时实数m的值；
（2）证明：对任意实数m，方程不存在纯虚数根．
设关于x的方程x2-mx-1=0有两个实根α，β，且α＜β．定义函数f(x)=
2x-mx2+1

（1）当α=-1，β=1时，判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；
（2）求αf（α）+βf（β）的值．
设关于x的方程x2-（tanθ+i）x-（2+i）=0，若方程有实数根，求锐角θ和实数根．
设关于x的方程x2-mx-1=0 有两个实根α、β，且α＜β．定义函数f(x)=
2x-m
x2+1
．
（1）求αf（α）+βf（β） 的值；
（2）判断f（x） 在区间（α，β） 上的单调性，并加以证明；
（3）若λ，μ 为正实数，求证：|f(
λα+μβ
λ+μ
)-f(
μα+λβ
λ+μ
)|＜|f(α)-f(β)|．
已知z是复数，z+i和
z1-i
都是实数，（1）求复数z；（2）设关于x的方程x2+x（1+z）-（3m-1）i=0有实根，求纯虚数m．

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