Question

已知动直线与椭圆交于、两不同点，且△的面积=，其中为坐标原点.
（1）证明和均为定值；
（2）设线段的中点为，求的最大值；
（3）椭圆上是否存在点，使得？若存在，判断△的形状；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）；（3）不存在点满足要求.

试题分析：（1）先检验直线斜率不存在的情况，后假设直线的方程，利用弦长公式求出的长，利用点到直线的距离公式求点到直线的距离，根据三角形的面积公式，即可求得与均为定值；（2）由（1）可求线段的中点的坐标，代入并利用基本不等式求最值；（3）假设存在，使得，由（1）得，，从而求得点的坐标，可以求出直线的方程，从而得到结论.
试题解析：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于轴对称，所以
因为在椭圆上，因此   ①
又因为所以   ②
由①、②得，此时     2分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
由题意知，将其代入，得
其中即 （*）
又
所以
因为点到直线的距离为
所以

又，整理得，且符合（*）式
此时

综上所述，结论成立         5分
（2）解法一：
（1）当直线的斜率不存在时，由（I）知
因此               6分
（2）当直线的斜率存在时，由（I）知

所以

所以，当且仅当，即时，等号成立
综合（1）（2）得的最大值为             9分
解法二：因为

所以
即当且仅当时等号成立
因此的最大值为                   9分
（3）椭圆C上不存在三点，使得 10分
证明：假设存在满足
由（I）得

解得
所以只能从中选取，只能从中选取
因此只能在这四点中选取三个不同点
而这三点的两两连线中必有一条过原点
与矛盾
所以椭圆上不存在满足条件的三点       14分.