Question

已知数列{a_n}中，a1=2，an+1=

4an-2

3an-1

(n∈N*)，设bn=

3an-2

an-1

．
（Ⅰ）试写出数列{b_n}的前三项；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a1=2，an+1=

4an-2

3an-1

(n∈N*)，分别令n=1，2可求a₂，a₃，然后由bn=

3an-2

an-1

，分别令n=1，2，3可求可得b₁，b₂，b₃，
（Ⅱ）由已知代入bn+1=

3an+1-2

an+1-1

=

12an-6-6an+2

4an-2-3an+1

=2•

3an-2

an-1

=2bn可求b_n，进而可求a_n

解答：解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=

4an-2

3an-1

(n∈N*)，得a2=

6

5

，a3=

14

13

．
由bn=

3an-2

an-1

，可得b₁=4，b₂=8，b₃=16．（3分）
（Ⅱ）证明：因an+1=

4an-2

3an-1

，故bn+1=

3an+1-2

an+1-1

=

12an-6-6an+2

4an-2-3an+1

=2•

3an-2

an-1

=2bn．（5分）
显然an≠

2

3

，
因此数列{b_n}是以

3a1-2

a1-1

=4为首项，以2为公比的等比数列，
即b_n=

3an-2

an-1

=4•2n-1=2n+1．（7分）
解得an=

2n+1-2

2n+1-3

．（8分）．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，构造等比数列求解通项，解题的关键是构造法在数列求解中的灵活应用．