Question

在等比数列{a_n}中，a₁=-1，a₄=64
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求和S_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n．

Answer 1

分析：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由等比数列的性质和题意求出q，代入通项公式化简；
（2）由（1）求出na_n代入S_n，根据式子的特点利用错位相减法求出S_n．

解答：解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由题意得，q3=

a4

a1

=-64，解得q=-4，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=-（-4）^n-1，
（2）由（1）得，na_n=-n（-4）^n-1，
∴S_n=-1-2×（-4）-3×（-4）²-…-n（-4）^n-1①，
-4S_n=4-2×（-4）²-3×（-4）³-…-（n-1）（-4）^n-1-n（-4）ⁿ②，
①-②得，5S_n=-1-[（-4）+（-4）²+（-4）³+…+（-4）^n-1]+n（-4）ⁿ
=-1-

(-4)[1-(-4)n-1]

1+4

+n（-4）ⁿ
=-

1

5

+

5n+1

5

(-4)n，
∴S_n=--

1

25

+

5n+1

25

(-4)n．

点评：本题本题考查等比数列的通项公式和性质，以及错位相减法求数列的和，考查了计算能力．