Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），且椭圆C经过点．
（I）求椭圆C的离心率：
（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题设条件结合椭圆的性质直接求出a，c的值，即可得到椭圆的离心率；
（II）由题设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，可设出直线的方程与椭圆的方程联立，由于两曲线交于两点，故判断式大于0且可利用根与系数的关系建立M，N两点的坐标与直线的斜率k的等量关系，然后再设出点Q的坐标，用两点M，N的坐标表示出，再综合计算即可求得点Q的轨迹方程．
解答：解：（I）∵椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），且椭圆C经过点．
∴c=1，2a=PF₁+PF₂==2，即a=
∴椭圆的离心率e===…4分
（II）由（I）知，椭圆C的方程为，设点Q的坐标为（x，y）
（1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，-1）两点，此时点Q的坐标为（0，2-）
（2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2，
因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x₁，kx₁+2），（x₂，kx₂+2），则
，，又|AQ|²=（1+k²）x²，
∴，即=…①
将y=kx+2代入中，得（2k²+1）x²+8kx+6=0…②
由△=（8k）²-24（2k²+1）＞0，得k²＞
由②知x₁+x₂=-，x₁x₂=，代入①中化简得x²=…③
因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=，代入③中并化简得10（y-2）²-3x²=18
由③及k²＞可知0＜x＜，即x∈（-，0）∪（0，）
由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以-1≤y≤1，
又由10（y-2）²-3x²=18得（y-2）²∈[，）且-1≤y≤1，则y∈（，2-）
所以，点Q的轨迹方程为10（y-2）²-3x²=18，其中x∈（-，），y∈（，2-）…13分
点评：本题主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合、转化化归、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性．本题是圆锥曲线中的常见题型，所考查的解题方式较为典型，本题运算量较大易因为运算失误造成丢分．