Question

已知函数.
（1）若，讨论函数在区间上的单调性；
（2）若且，对任意的，试比较与的大小．

Answer 1

（1）参考解析；（2）

试题分析：（1）函数，，所以可得函数.通过对函数求导，以及对讨论即可得到结论.
（2）由且对任意的，将换留下一个参数，又恒成立.构建新函数，通过对函数求导得到，对的取值分类讨论即可得结论.
试题解析：（1）时，，则，       1分
当时，，所以函数在区间上单调递减；       2分
当时，，所以函数在区间上单调递增；      3分
当时，存在，使得，即，       4分
时，，函数在区间上单调递增，        5分
时，，函数在区间上单调递减．        6分
（2）时，，猜测恒成立，     7分
证明：等价于，
记，则
，           10分
当，即时，，在区间上单调递减，     12分
所以当时，，即恒成立；           14分