题目内容

若A、B为锐角，满足
sinA
sinB
=cos（A+B），则tanA的最大值为（　　）
A、
2
4
B、
1
2
C、1
D、
2
分析：由题意可得可得-cosCsinB=sinA，结合正弦定理和余弦定理可得3a2+b2=c2．由于tan2A=
1
cos2A
-1，且A为锐角可得，可得 cosA＞0，tanA＞0．只要求出cosA的最小值，就可求得tanA的最大值，由余弦定理结合基本不等式可得cosA的最小值，进而可得答案．
解答：解：由
sinA
sinB
=cos（A+B）可得cos（A+B）sinB=sinA，
故-cosCsinB=sinA，
再由正弦定理和余弦定理，-
a2+b2-c2
2ab
×b=a，化简可得 3a2+b2=c2．
由于tan2A=
1
cos2A
-1，且A为锐角可得，可得 cosA＞0，tanA＞0．
只要求出cosA的最小值，就可求得tanA的最大值．
又cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
2b2+c2
3bc
≥
2
2
bc
3bc
=
2
2
3
，
当且仅当
2
b=c时，等号成立．
即cosA的最小值为
2
2
3
． 故tan2A 的最大值为
1
8
，
故tanA的最大值为
1
8
=
2
4
．
故选：A
点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及正余弦定理的应用，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
给出以下5个命题：
①曲线x2-（y-1）2=1按
a
=(1，-2)平移可得曲线（x+1）2-（y-3）2=1；
②设A、B为两个定点，n为常数，|
PA
|-|
PB
|=n，则动点P的轨迹为双曲线；
③若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是该椭圆上的任意一点，延长F1P到点M，使|F2P|=|PM|，则点M的轨迹是圆；
④A、B是平面内两定点，平面内一动点P满足向量
AB
与
AP
夹角为锐角θ，且满足 |
PB
| |
AB
| +
PA
•
AB
=0，则点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）；
⑤已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为椭圆的一部分．
其中所有真命题的序号为
 
．
在锐角三角形中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足条件sin22B+sin2BsinB+cos2B=1．
（Ⅰ）求∠B的值；
（Ⅱ）若b=3，求a+c的最大值．
下列命题中正确的有
②③④
②③④
（填序号）
①若
a
与
b
满足
a
•
b
＞0，则
a
与
b
所成的角为锐角；
②若
a
与
b
不共线，
m
=λ1
a
+λ2
b
，
n
=μ1
a
+μ2
b
（λ1，λ2，μ1，μ2∈R），则
m
∥
n
的充要条件是λ1μ2-λ2μ1=0；
③若
OA
+
OB
+
OC
=
O
，且|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|，则△ABC是等边三角形；
④若
a
与
b
为非零向量，且
a
⊥
b
，则|
a
+
b
|=|
a
-
b
|；
⑤设
a
，
b
，
c
为非零向量，若
a
•
b
=
c
•
b
，则
a
=
c
；
⑥若
a
，
b
，
c
为非零向量，则
a
•(
b
•
c
)=(
a
•
b
)•
c
．
已知
m
=(1，sin2x)，
n
=(cos2x，
3
)，f(x)=
m
•
n
．锐角△ABC的三内角A、B、C对应的三边分别为a、b、c．满足：f（A）=1．
（1）求角A；
（2）若a=2，△ABC的面积为
3
，求边b、c的值．

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