Question

（2012•浙江模拟）定义：过双曲线焦点的直线与双曲线交于A、B两点，则线段AB成为该双曲线的焦点弦．已知双曲线

x2

25

-

y2

9

=1，那么过改双曲线的左焦点，长度为整数且不超过2012的焦点弦条数是（　　）

A．4005

B．4018

C．8023

D．8036

Answer 1

分析：双曲线

x2

25

-

y2

9

=1中，左焦点F₁（-

34

，0）．双曲线过左焦点的焦点弦可以分为两类：第一类，端点均在左支上，最短的为通径，第二类，端点分别在两支，最短为实轴．由此入手能够求出结果．

解答：解：双曲线

x2

25

-

y2

9

=1中，a²=25，b²=9，c²=34，
左焦点F₁（-

34

，0）
双曲线过左焦点的焦点弦可以分为两类：
第一类，端点均在左支上，最短的为通径，
将x=-

34

代入椭圆方程，得
y²=

81

25

，|y|=

9

5

，∴通径长为2|y|=

18

5

=3.6，
∵长度为整数且不超过2012，
∴符合条件的焦点弦长为4，5，6，…，2012，
根据对称性每个弦长对应2条弦，共2×（2012-3）=4018．
第二类，端点分别在两支，最短为实轴，
2a=10，符合题意的弦长：10，11，12，…，2012，
弦长为10的只有1条，其它的对应2条，
∴满足条件的弦共有：1+2（2012-10）=4005，
两类合计共4018+4005=8023条．
故选C．

点评：本题考查双曲线的性质及其应用，具体涉及到双曲线的简单性质，双曲线和直线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．