Question

如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,底面,,,．

（Ⅰ)求证:平面平面；
（Ⅱ）若,求四棱锥的体积．

Answer 1

（Ⅰ)见解析（Ⅱ）1.

解析试题分析：（Ⅰ)首先由余弦定理求,由勾股定理确定,所以,
结合条件平面,可知,于是可证平面.
平面平面（Ⅱ）求四棱锥的体积有两个途径,第一,利用（Ⅰ)的结论平面平面,因为,取中点,连结,可证是四棱锥的高,从而求四棱锥的体积；第二、因为，所以从而方便求解.
试题解析：（Ⅰ)证明： 在中,由余弦定理得：，
所以,所以,即，          3分
又四边形为平行四边形,所以，
又底面,底面,所以，          4分
又,所以平面,               5分
又平面,所以平面平面．              6分

（Ⅱ）法一：连结，∵，∴
∵平面，所以，
所以四边形的面积，             8分
取的中点，连结，则，且，
又平面平面,平面平面，
所以平面，                           11分
所以四棱锥的体积：
．