Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A₁B=2．
（1）求棱AA₁与BC所成的角的大小；
（2）在棱B₁C₁上确定一点P，使二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值为．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为AB⊥AC，A₁B⊥平面ABC，所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y轴，以过A，且平行于BA₁的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A₁B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA₁与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA₁与BC所成的角的大小；
（2）设棱B₁C₁上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA₁的一个法向量，把二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值为转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．
解答：解：（1）如图，以A为原点，AC、AB所在直线分别为x轴和y轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），
，．
所以==，
所以向量与所成的角为，
故AA₁与棱BC所成的角是．
（2）设P为棱B₁C₁上的点，
由，得P（2λ，4-2λ，2）．
设平面PAB的法向量为=（x，y，z），
，，
由，得，
取x=1，得z=-λ，故=（1，0，-λ）．
而平面ABA₁的一个法向量是=（1，0，0），
则=，
解得，即P为棱B₁C₁中点，其坐标为P（1，3，2）．
点评：本题考查了异面直线所成的角，考查了二面角的平面角的求法，解答的关键是首先建立正确的空间右手系，然后准确计算出一些点的坐标，此题是中档题．