Question

【题目】已知圆，直线，.

（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点；

（2）是否存在实数，使得圆上有四点到直线的距离为？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由；

（3）求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）或；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）由圆心到直线的距离小于半径可证得相交；

（2）利用圆心到直线的距离为，可求得；

（3）设中点为，利用，即可得解.

试题解析：

证明：（1）圆的圆心为，半径为，

所以圆心到直线的距离.

所以直线与圆相交，即直线与圆总有两个不同的交点；

（2）假设存在直线，使得圆上有四点到直线的距离为，

由于圆心，半径为，

则圆心到直线的距离为

化简得，解得或.

（3）设中点为，

因为直线恒过定点，

当直线的斜率存在时，，又，

∵，∴

化简得.

当直线的斜率不存在时，，

此时中点为，也满足上述方程.

所以的轨迹方程是，

它是一个以为圆心，以为半径的圆.