Question

已知函数f（x）=x+

a

x

（x＞0），a为常数，且a≠0．
（1）研究函数y=f（x）的单调性，并说明理由；
（2）如果函数y=f（x）的值域为[6，+∞），求a的值．

Answer 1

分析：（1）由函数的解析式f（x）求出导函数，然后分a小于0和a大于0两种情况，分别令导函数大于0列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围即为函数的递增区间；令导函数小于0列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围即为函数的递减区间；（2）由（1）知，当a小于0时，函数在区间（0，+∞）上单调递增，值域为R，不合题意；当a大于0时，根据函数的增减性得到函数的最小值为f（

a

），求出f（

a

）的值即可得到函数的值域，又函数的值域为[6，+∞），所以得到f（

a

）的值等于6，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：（1）由f（x）=x+

a

x

，得f′(x)=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，
当a＜0时，f′(x)=

x2-a

x2

＞0恒成立，所以函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；
当a＞0时，令f′(x)=

x2-a

x2

＞0，解得x＞

a

，令f′(x)=

x2-a

x2

＜0，解得0＜x＜

a

，
所以函数y=f（x）在(0，

a

)上为减函数；在(

a

，+∞)上为增函数．
（2）由（1）可知当a＜0时，函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，此时函数的值域为R，不合题意；
当a＞0时，函数y=f（x）在(0，

a

)上为减函数；在(

a

，+∞)上为增函数，
此时函数的值域为[2

a

，+∞)，即2

a

=6，a=9．
综上，a=9．

点评：此题考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的最值，掌握导数在最值问题中的应用，是一道综合题．