题目内容
小明参加一次智力问答比赛，比赛共设三关．第一、二关各有两个问题，两个问题全答对，可进入下一关．第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为100、300、500元的奖励．小明对三关中每个问题回答正确的概率依次为
、
、
，且每个问题回答正确与否相互独立．
（1）求小明过第一关但未过第二关的概率；
（2）用ξ表示小明所获得奖品的价值，求ξ的分布列和期望．
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 2 |
| 3 |
（1）求小明过第一关但未过第二关的概率；
（2）用ξ表示小明所获得奖品的价值，求ξ的分布列和期望．
分析：（1）由小明对三关中每个问题回答正确的概率依次为
、
、
，且每个问题回答正确与否相互独立．故小明过第一关但未过第二关的概率P=(
)2•[1-(
)2]，由此能求出结果．
（2）由题设ξ=0，100，400，900，结合题设条件分别求出P（ξ=0），P（ξ=100）和P（ξ=400）的值由此能求出ξ的分布列和Eξ．
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
（2）由题设ξ=0，100，400，900，结合题设条件分别求出P（ξ=0），P（ξ=100）和P（ξ=400）的值由此能求出ξ的分布列和Eξ．
解答：解：（1）∵小明对三关中每个问题回答正确的概率依次为
、
、
，
且每个问题回答正确与否相互独立．
小明过第一关但未过第二关的概率：
P=(
)2•[1-(
)2]
=
×
=
．…（5分）
（2）ξ=0，100，400，900，
P（ξ=0）=1-(
)2=
，
P（ξ=100）=
，
P（ξ=400）=(
)2•(
)3•[(
)3+
•
•(
)2]=
，
P（ξ=900）=(
)2•(
)2•[
(
)2•
+(
)3]=
，
∴ξ的分布列
∴Eξ=0×
+100×
+400×
+900×
=
．
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 2 |
| 3 |
且每个问题回答正确与否相互独立．
小明过第一关但未过第二关的概率：
P=(
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
=
| 25 |
| 16 |
| 7 |
| 16 |
=
| 7 |
| 25 |
（2）ξ=0，100，400，900，
P（ξ=0）=1-(
| 4 |
| 5 |
| 9 |
| 25 |
P（ξ=100）=
| 7 |
| 25 |
P（ξ=400）=(
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| C | 1 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 7 |
| 75 |
P（ξ=900）=(
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| C | 2 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 15 |
∴ξ的分布列
| ζ | 0 | 100 | 400 | 900 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 9 |
| 25 |
| 7 |
| 25 |
| 7 |
| 75 |
| 4 |
| 15 |
| 916 |
| 3 |
点评：本题考查概率的求法，离散型随机变量的分布列的方差，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征．
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表示小明所获得奖品的价值，求