Question

已知点列M₁（x₁，1），M₂（x₂，2），…，M_n（x_n，n），且

MnMn+1

与向量

an

=(-c，cn+1)垂直，其中c是不等于零的实常数，n是正整数．设x₁=1，求数列{x_n}的通项公式，并求其前n项和S_n．

Answer 1

分析：利用

MnMn+1

与向量

an

=(-c，cn+1)垂直，可得

MnMn+1

•

an

=0，从而可得xn+1-xn=cn，利用叠加法，确定数列的通项，分类讨论，利用等差数列、等比数列的求和公式，即可得到结论．

解答：解：由题意得：

MnMn+1

=(xn+1-xn，1)…（2分）
∵

MnMn+1

与向量

an

=(-c，cn+1)垂直，
∴

MnMn+1

•

an

=0
∴-c(xn+1-xn)+cn+1=0
∵c≠0
∴xn+1-xn=cn  …（4分）
∴x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+…+（x₂-x₁）+x₁=c^n-1+c^n-2+…+c+1…（6分）
当c=1时，x_n=n，此时，S_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

  …（8分）
当c≠1时，x_n=c^n-1+c^n-2+…+c+1=

1-cn

1-c

      …（10分）
此时，S_n=

1-c

1-c

+

1-c2

1-c

+…+

1-cn

1-c

=

1

1-c

-

1

1-c

(c+c2+…+cn)
=

n

1-c

-

1

1-c

•

c(1-cn)

1-c

=

n

1-c

-

c-cn+1

(1-c)2

…（12分）

点评：本题考查数列与向量的综合，考查叠加法，考查数列的求和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．