题目内容

如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．
（1）求函数f（t）解析式；
（2）画出函数y=f（t）的图象；
（3）当函数g（t）=f（t）-at有且只有一个零点时，求a的值．

解：（1）当0＜t≤1时， $\text{[math]}$ ²
当1＜t≤2时， $\text{[math]}$
当t＞2时， $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$
（2）画图象，如图：（其中图形，规范1分）
（3）当0＜t≤1时， $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
因为0＜t≤1，所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时，直线y=at过点 $\text{[math]}$ ，这两点都在f（t）的图象上
当 $\text{[math]}$ 时，直线y=at与射线 $\text{[math]}$ 有一个交点
当1＜t≤2时，直线y=a（ $\text{[math]}$ ）逆时针旋转时与f（t）图象有两个交点，相切时有一个交点，且与射线 $\text{[math]}$ 无交点．
此时 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 在（1，2]内．
当 $\text{[math]}$ ．时 $\text{[math]}$ 不在（1，2]内，
当a≤0或a $\text{[math]}$ 时，直线y=at与f（t）的图象无交点
所以 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用分段函数，求函数f（t）的解析式．
（2）利用（1）的解析式作出函数的图象．（3）求出g（t）=f（t）-at的表达式，利用g（t）=f（t）-at有且只有一个零点时，求a的值．
点评：本题主要考查了分段函数的求法以及函数零点的应用，综合性较强，运算量较大．