题目内容

（2012•红桥区一模）已知非零向量
AB
与
AC
满足(
AB
|AB
|
+
AC
AC
|
)•
BC
=0，且|
AB
-
AC
|=2
3
，|
AB
+
AC
|=2
6
．点D是△ABC中BC边的中点，则
AB
•
BD
=
-3
-3
．
分析：由
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
表示的向量所在直线为∠BAC的平分线及(
AB
|AB
|
+
AC
AC
|
)•
BC
=0知，△ABC为等腰三角形，又D点是△ABC中BC边的中点，可知AD⊥BC，由|
AB
-
AC
|=2
3
，|
AB
+
AC
|=2
6
得，AD=
6
，BD=
3
，由数量积运算可求得答案．
解答：解：由于
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
表示的向量所在直线为∠BAC的平分线，
所以(
AB
|AB
|
+
AC
AC
|
)•
BC
=0说明∠BAC的平分线与BC垂直，则△ABC为等腰三角形，
由点D是△ABC中BC边的中点及|
AB
-
AC
|=2
3
知，|
BD
|=
3
，且AD⊥BC，
又|
AB
+
AC
|=2
6
，所以|
AD
|=
6
，
则|
AB
||
BD
|cos(π-B)=
AD2+BD2
•
3
•（-cosB）=3
3
•（-
3
3
）=-3，
故答案为：-3．
点评：本题考查平面向量数量积的运算及其性质，考查学生分析解决问题的能力．
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