题目内容

△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且 $数学公式$ ．
（1）求cosAcosC的值；
（2）求tanA+tanC值．
（3）判断等式 $数学公式$ 有无成立的可能？如果有，求出a，b，c的一组值；如果没有，说明理由．

解：（1）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴取特殊值a=3，b=4，c=5，
∴ $\text{[math]}$ ，
cosAcosC=0．
（2）tanA+tanC= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．（7分）
（3） $\text{[math]}$ 不可能成立．取AC中点O，连接BO
∵ $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，
∴BO⊥AC（9分）
从而 $\text{[math]}$ ，即a=c，
又∵b²=ac∴a=b=c∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，与已知 $\text{[math]}$ 矛盾，
∴ $\text{[math]}$ 不可能成立．（14分）
分析：（1）由a，b，c成等差数列， $\text{[math]}$ ，取特殊值a=3，b=4，c=5，故 $\text{[math]}$ ，cosAcosC=0．
（2）tanA+tanC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（3） $\text{[math]}$ 不可能成立．取AC中点O，连接BO，由题设能导出 $\text{[math]}$ ，与已知 $\text{[math]}$ 矛盾，所以 $\text{[math]}$ 不可能成立．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意三角函数性质和公式的灵活运用．