Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=0（b＞0，a＞0）的左焦点F（-c，0）（c＞0），作圆x²+y²=

a2

4

的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若

OE

=

1

2

（

OF

+

OP

），则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  10

  2

• B、

  10

  5

• C、

  10

• D、

  2

Answer 1

分析：由

OE

=

1

2

（

OF

+

OP

），知E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，则PF′=2OE=a，能推导出在Rt△PFF′中，PF²+PF′²=FF′²，由此能求出离心率．

解答：解：∵若

OE

=

1

2

（

OF

+

OP

），
∴E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，
则PF′=2OE=a，
∵E为切点，
∴OE⊥PF
∴PF′⊥PF
∵PF-PF′=2a
∴PF=PF′+2a=3a
在Rt△PFF′中，PF²+PF′²=FF′²
即9a²+a²=4c²
∴离心率e=

c

a

=

10

2

．
故选：A．

点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．