Question

已知F₁、F₂分别是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，OF₁为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF₁F₂的面积等于a²时，双曲线的离心率为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   2

Answer 1

A
分析：先设F₁F₂=2c，由题意知△F₁F₂P是直角三角形，进而在RT△PF₁F₂中结合双曲线的定义和△PF₁F₂的面积，进而根据双曲线的简单性质求得a，c之间的关系，则双曲线的离心率可得．
解答：设F₁F₂=2c，由题意知△F₁F₂P是直角三角形，
∴F₁P²+F₂P²=F₁F₂²，
又根据曲线的定义得：
F₁P-F₂P=2a，
平方得：F₁P²+F₂P²-2F₁P×F₂P=4a²
从而得出F₁F₂²-2F₁P×F₂P=4a²
∴F₁P×F₂P=2（c²-a²）
又当△PF₁F₂的面积等于a²
即F₁P×F₂P=a²
2（c²-a²）=a²
∴c=a，
∴双曲线的离心率e==．
故选A．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和数形结合的思想的运用．属基础题．