题目内容
已知函数f（x）=ax3+bx+c为R上的奇函数，且当x=1时，有极小值-1；函
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于任意x∈[-2，2]，恒有f（x）＞g（x），求t的取值范围．
【答案】分析：（1）由f（-x）=-f（x）解出c，由f（1）=-1及f′（1）=0解出a和b，可得函数f（x）的解析式．
（2）设
，则h'（x）=3x2-3，由h′（x）的符号确定h（x）的单调性，从而确定h（x）的最小值，由题意知，任意x∈[-2，2]，h（x）的最小值大于0，解此不等式，求出t的取值范围．
解答：解：（1）由f（-x）=-f（x）得：c=0，
由
∴
经检验在x=1时，f（x）有极小值-1，
∴
（2）设
，则h'（x）=3x2-3，
令h'（x）=3x2-3＞0得x＞1或x＜-1，
令h'（x）=3x2-3＜0得-1＜x＜1
所以h（x）在区间[-2，-1]及[1，2]上的增函数，在区间[-1，1]上的减函数，
∴
使对于任意x∈[-2，2]，恒有f（x）＞g（x），则
解得t＜-3或0＜t＜1∴t∈（-∞，-3）∪（0，1）
点评：本题考查用待定系数法求函数解析式，函数在某个点取极值的条件，以及函数的恒成立问题．
（2）设
，则h'（x）=3x2-3，由h′（x）的符号确定h（x）的单调性，从而确定h（x）的最小值，由题意知，任意x∈[-2，2]，h（x）的最小值大于0，解此不等式，求出t的取值范围．解答：解：（1）由f（-x）=-f（x）得：c=0，
由
∴
经检验在x=1时，f（x）有极小值-1，
∴
（2）设
，则h'（x）=3x2-3，令h'（x）=3x2-3＞0得x＞1或x＜-1，
令h'（x）=3x2-3＜0得-1＜x＜1
所以h（x）在区间[-2，-1]及[1，2]上的增函数，在区间[-1，1]上的减函数，
∴
使对于任意x∈[-2，2]，恒有f（x）＞g（x），则
解得t＜-3或0＜t＜1∴t∈（-∞，-3）∪（0，1）
点评：本题考查用待定系数法求函数解析式，函数在某个点取极值的条件，以及函数的恒成立问题．
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