Question

(本大题满分12分)
已知点A(－1，0)、B(1，0)和动点M满足：，且，动点M的轨迹为曲线C，过点B的直线交C于P、Q两点．
(1)求曲线C的方程；
(2)求△APQ面积的最大值．

Answer 1

(1)解：设M (x，y)，在△MAB中，| AB | = 2，

∴
即                       

因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a = 2，c = 1
∴曲线C的方程为．                                                                               

(2)解法一：设直线PQ方程为 (∈R)
由 得：                                                           

显然，方程①的，设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则有

                                                          

令，则t≥3，                                                            

由于函数在[3，＋∞)上是增函数，∴
故，即S≤3
∴△APQ的最大值为3                                                                                              

解法二：设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则
当直线PQ的斜率不存在时，易知S = 3
设直线PQ方程为
由  得：  ①                                        
显然，方程①的△＞0，则
∴                                   

                                　　　　
令，则，即S＜3

∴△APQ的最大值为3