Question

在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，BD₁交平面ACB₁于点E，求证：

(1)BD₁⊥平面ACB₁；

(2).

Answer 1

证明：(1)我们先证明BD₁⊥AC：

∵,,

∴

.

∴BD₁⊥AC.同理可证BD₁⊥AB₁, 于是BD₁⊥平面ACB₁.

(2)设底面正方形的对角线AC、BD交于点M, 则, 即对于空间任意一点O, 设,,,, 则上述等式可改写成2(m-b)=d₁-b₁或b₁+2m=d₁+2b.记.此即表明, 由e向量所对应的点E分线段B₁M及D₁B各成λ(=2)之比.所以点E既在线段B₁M面ACB₁上又在线段D₁B上, 所以点E是D₁B与平面ACB₁的交点, 此交点E将D₁B分成2与1之比, 即D₁E:EB=2:1, 即.