Question

8．设直线l₁与曲线y=$\sqrt{x}$相切于P，直线l₂过P且垂直于l₁，若l₂交x轴于Q点，又作PK垂直于x轴于K，求KQ的长．

Answer 1

分析 设P（m，$\sqrt{m}$），求导数可得直线l₁的斜率k=$\frac{1}{2\sqrt{m}}$，由垂直关系可得直线l₂的斜率为-2$\sqrt{m}$，分别可得直线的方程，可得Q和K的坐标，由两点间的距离公式可得．

解答 解：设P（m，$\sqrt{m}$），y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
∴直线l₁的斜率k=$\frac{1}{2\sqrt{m}}$，直线l₂的斜率为-2$\sqrt{m}$，
∴直线l₁的方程为y=$\frac{1}{2\sqrt{m}}$（x-m）+$\sqrt{m}$，
直线l₂的方程为y=-2$\sqrt{m}$（x-m）+$\sqrt{m}$，
把y=0代入l₂的方程可得x=$\frac{1}{2}$+m，
∴Q的坐标为（$\frac{1}{2}$+m，0），则K（m，0），
∴KQ=$\sqrt{（\frac{1}{2}+m-m）^{2}+{0}^{2}}$=$\frac{1}{2}$

点评 本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及切线的斜率和导数的关系，属中档题．