Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD=2，∠DAB=60°，PA=PC=2，且平面ACP⊥平面ABCD．

（Ⅰ）求证：CB⊥PD；

（Ⅱ）求二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

（1）证明PO⊥平面ABCD得出PO⊥BC，利用勾股定理证明，从而BC⊥平面PBD，于是BC⊥PD；

（2）建立空间坐标系，求出平面PAB和平面PBC的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小．

解：（1）连，交于点，连

由平面，平面.

又

又

又

，

又

（2）由（1）知，以为坐标原点，为轴，为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

由（1）知，则轴.

由平面几何知识易得，

则

于是，

设平面的法向量为.

则，即，

取，则，则

同理可求得平面的一个向量

于是

分析知二角面的余弦值为.