Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，D、E分别为AB、AC上的点，AB⊥DE，沿DE将△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BDEC，设AD=x．
（1）若侧视图方向为

.

DB

，求侧视图面积．
（2）试将四棱锥A-BCED的体积u（x）用x表示出来．
（3）当x为何值时，u（x）取最大值．

Answer 1

分析：（1）侧视图方向为

.

DB

，求出BC在DE上的射影的长度，即可求出侧视图面积．
（2）将四棱锥的体积转化为：S_A-BCED=S_△ABC-S_△ADE，即可u（x）用x表示出来．
（3）利用函数的导数，通过函数的单调性，求出u（x）取最大值．

解答：解：（1）BC在DE上的射影的长度CF=

3

，几何体的左视图为三角形，高为AD=x，所以左视图的面积为：S_侧=

3 x

2

．
（2）∵△ADE∽△ABC，
⇒

x

2 3

=

DE

2

⇒DE=

3

3

x，∴S_A-BCED=S_△ABC-S_△ADE=2

3

-

3

6

x2，
u（x）=

1

3

SDECB•AD=

3

18

(12x-x3)，0＜x＜3．
（3）由（1）得u′（x）=

3 3

18

(4-x2)，0＜x＜3，
∵?x∈（0，2），u′（x）＞0，u′（2）=0，?x∈（2，3），u′（x）＜0，
∴u_max（x）=u（2）=

8 3

9

．

点评：本题考查几何体的直观图与三视图的关系，几何体的体积的求法，函数的单调性的应用，考查计算能力与转化思想．