Question

已知向量=（，-1），=（，），若存在非零实数k，t使得=+（t²-3），=-k+t，且⊥，试求：的最小值．

Answer 1

【答案】分析：根据向量数量积的坐标公式和性质，分别求出||=2，||=1且•=0，由此将•=0化简整理得到k=（t³-3t）．将此代入，可得关于t的二次函数，根据二次函数的单调性即可得到的最小值．
解答：解：∵=（，-1），=（，），
∴||==2，||==1，且•=×+（-1）×=0
∵=+（t²-3），=-k+t，且⊥，
∴•=0，即（+（t²-3））（-k+t）=0
展开并化简，得-k²+（-kt²+3k+t）•+t（t²-3）²=0
将||=2、||=1和•=0代入上式，可得
-4k+t（t²-3）=0，整理得k=（t³-3t）
∴==t²+t-=（t+2）²-
由此可得，当t=-2时，的最小值等于-．
点评：本题以向量的数量积运算为载体，求的最小值．着重考查了平面向量数量积的坐标公式、运算性质，以及二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．