Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一根为S_n-1，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）求a₁，a₂；
（Ⅱ）{a_n}的通项公式．

Answer 1

（Ⅰ）当n=1时，x²-a₁x-a₁=0有一根为S₁-1=a₁-1，
于是（a₁-1）²-a₁（a₁-1）-a₁=0，解得a₁=

1

2

．
当n=2时，x²-a₂x-a₂=0有一根为S₂-1=a₂-

1

2

，
于是（a₂-

1

2

）²-a₂（a₂-

1

2

）-a₂=0，解得a₂=

1

6

．
（Ⅱ）由题设（S_n-1）²-a_n（S_n-1）-a_n=0，
即S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，代入上式得
S_n-1S_n-2S_n+1=0　　　①
由（Ⅰ）知S₁=a₁=

1

2

，S₂=a₁+a₂=

1

2

+

1

6

=

2

3

．
由①可得S₃=

3

4

．
由此猜想S_n=

n

n+1

，n=1，2，3，…．
下面用数学归纳法证明这个结论．
（i）n=1时已知结论成立．
（ii）假设n=k时结论成立，即S_k=

k

k+1

，
当n=k+1时，由①得S_k+1=

1

2-Sn-1

，即S_k+1=

k+1

k+2

，
故n=k+1时结论也成立．
综上，由（i）、（ii）可知S_n=

n

n+1

对所有正整数n都成立．
于是当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

n

n+1

-

n-1

n

=

1

n(n+1)

，
又n=1时，a₁=

1

2

=

1

1×2

，所以{a_n}的通项公式a_n=

n

n+1

，n=1，2，3，…．