Question

（本小题满分12分）

设，且,定义在区间内的函数是奇函数.

（1）求的取值范围；

（2）讨论函数的单调性并证明.

 

Answer 1

【答案】

（1）. （2）在（-b,b)内是减函数，具有单调性.

【解析】

试题分析：（1）由函数f（x）在区间（-b，b）是奇函数，知f（-x）=-f（x），x∈（-b，b）上恒成立，用待定系数法求得a；同时函数要有意义，即＞0，x∈（-b，b）上恒成立，可解得结果．

（2）选用定义法求解，先任意取两个变量且界定大小，再作差变形看符号．

解 （1）是奇函数等价于：

对任意都有…………………2分

（1）式即为，由此可得,也即,…………………4分

此式对任意都成立相当于,因为,所以，

代入②式，得＞0,即,此式对任意都成立相当于,…………………6分

所以的取值范围是.…………………7分

（2）设任意的，且,由，得,

所以…………………9分

从而 

因此在（-b,b)内是减函数，具有单调性. …………………12分

考点：本试题主要考查了函数的奇偶性，还考查了用定义法证明函数的单调性的运用。

点评：解决该试题的关键是要注意定义域优先考虑原则，以及作差时的变形要到位，要用上两个变量的大小关系。