Question

8．已知a＞0，h（x）=ax²+2ax，g（x）=e^x，若在（0，+∞）上至少存在一点x₀，使h（x₀）＞g（x₀）成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$e${\;}^{\sqrt{2}}$，+∞）
• B． （$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$e${\;}^{\sqrt{2}}$+∞）
• C． （-∞，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$e${\;}^{\sqrt{2}}$）
• D． （-∞，$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$e${\;}^{\sqrt{2}}$）

Answer 1

分析 由ax²+2ax＞e^x，化为a＞$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}+2x}$=f（x）．由a＞0，在（0，+∞）上至少存在一点x₀，使h（x₀）＞g（x₀）成立，可得a＞（f（x））_min，利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：由ax²+2ax＞e^x，化为a＞$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}+2x}$=f（x）．
∵a＞0，在（0，+∞）上至少存在一点x₀，使h（x₀）＞g（x₀）成立，
∴a＞（f（x））_min，
f′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2）}{（{x}^{2}+2x）^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得x$＞\sqrt{2}$，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得0＜x$＜\sqrt{2}$，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=$\sqrt{2}$时，函数f（x）取得最小值，
∴（f（x））_min=$\frac{{e}^{\sqrt{2}}}{2+2\sqrt{2}}$，
∴a＞$\frac{（\sqrt{2}-1）{e}^{\sqrt{2}}}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了特称命题、利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．