Question

对于以下命题
①存在α∈(0，

π

2

)，使sinα+cosα=

4

5

②存在区间（a，b）使y=cosx为减函数，且sinx＜0
③y=sin(2x-

π

3

)的一条对称轴为直线x=-

π

12

④y=cos2x+sin(

π

2

-x)既有最大值、最小值，又是偶函数
⑤y=sin|2x-

π

6

|的最小正周期为

π

2

以上命题正确的有

③④

（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：对于①根据三角函数的值域范围判断正误；②结合三角函数的图象判断是否存在（a，b），推出正误；③将x的值代入，看函数是否取最值即可，能取到最值就是函数的对称轴，直接判断正误；④化简函数表达式，求其最大值最小值，判断奇偶性；⑤根据函数的周期判断即可．

解答：解：①因为α∈（0，

π

2

），使得sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）＞1，所以①错误；
②通过正弦函数、余弦函数的图象可知，不存在区间（a，b）使y=cosx为减函数而sinx＜0，②错误．
③当x=-

π

12

时，y=sin（2x-

π

3

）=-1，取得最小值，故直线x=-

π

12

是f（x）的对称轴；③正确；
④y=cos2x+sin（

π

2

-x）=cos2x+cosx；既有最大、最小值，又是偶函数，④正确．
⑤y=sin|2x-

π

6

|它不是周期函数．⑤不正确，
故答案为：③④．

点评：本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性，三角函数的单调性，考查逻辑思维推理计算能力，掌握三角函数的基本知识，是解好三角函数题目的基础，考查的知识点比较多，综合性比较强，是一道中档题；